유클리드 기본모음 제안 48. 피타고라스 공식은 직각삼각형이 되기 위한 충분조건이다

제안 48. 삼각형에서 한 변의 크기의 제곱이 다른 두 변의 크기의 제곱의 합과 같으면, 그 두 변의 사이각은 직각이다.

 

 

 

삼각형 ABC에서 한 변 BC의 크기의 제곱이 변 BA와 AC의 크기의 제곱의 합과 같다고 하자. 그리고 각 BAC가 직각이라는 것을 보이자.

 

변 AC에 직각이 되게 점A에서 선 AD를 긋는데 선 AD의 길이가 변 BA의 길이와 같게 한다. 그리고 선 DC를 그린다.

 

(이제 삼각형 ABC와 삼각형 ADC가 합동임을 보이면, 각 BAC은 직각인 각 DAC와 크기가 같아진다.)

 

선 DA의 길이가 변 AB의 길이와 같으므로 선 DA의 크기의 제곱은 변 AB의 크기의 제곱과 역시 같다. 선 AC의 크기의 제곱을 각각 더하자. 그러면 선 DA와 변 AC의 크기의 제곱의 합은 변 BA와 변 AC의 크기의 제곱의 합과 같다.

 

그런데 각 DAC가 직각이므로 선 DC의 크기의 제곱은 선 DA와 변AC의 제곱의 합과 같으며, 가정에 의하여 변 BC의 크기의 제곱은 변 BA와 변 AC의 크기의 제곱의 합과 같다. 그러므로 선 DC의 크기의 제곱은 변 BC의 크기의 제곱과 같아서 선 DC 역시 변 BC와 크기가 같다.

 

변 DA와 변 AB는 크기가 같고, 변 AC는 공통이므로, 두 변 DA와 AC는 두 변 BA와 AC와 크기가 같다. 그리고 밑변 DC와 밑변 BC의 크기가 같다. 그러므로 각 DAC는 각 BAC와 크기가 같다. 그러나 각 DAC는 직각이고, 따라서 각 BAC도 역시 직각이다.

 

그러므로 한 변의 제곱이 나머지 두변의 제곱의 합과 같으면, 그러면 삼각형에서 그 나머지 두 변의 사이각은 직각이다.