유클리드 기본모음 제안 21. 한 모서리를 같이 하고 포함되는 삼각형에 대하여

제안 21. 주어진 삼각형의 한 모서리의 두 끝점에서 시작된 두 직선이 삼각형 안에서 만나면, 이 두 직선의 길이 합은 삼각형의 나머지 두 모서리 길이의 합보다 작다. 그러나 이렇게 만들어진 각은 삼각형의 나머지 두 모서리가 만드는 각보다 크다.

 

 

 

삼각형 ABC의 한 변 BC의 끝점 B와 C에서 부터 두 직선 BD와 DC를 긋어 삼각형내에서 만나게 하자. 직선 BD와 DC의 합은 삼각형의 나머지 두변 BA와 AC의 합보다 작고, 그러나  두변 BD와 DC는 각 BAC보다 큰 각 BDC를 포함한다.

 

 

점 E까지 직선 BD를 그리자. 임의의 삼각형에서 두 변의 합은 나머지 한 변보다 크므로, 그러므로 삼각형 ABE에서 두 변 AB와 AE의 합은 변 BE보다 크다.

 

 

각각에 직선 EC를 더하자. 그러면 두 변 BA와 AC의 합은 두 변 BE와 EC의 합보다 더 크다. 또한, 삼각형 CED에서 두 변 CE와 ED의 합은 변 CD보다 크므로, 각각에 DB를 더하자. 그러므로 두 변 CE와 EB의 합은 두 변 CD와 DB의 합보다 더 크다.

 

 

그러나 두 변 BA와 AC의 합은 두 변 BE와 EC의 합보다 더 크다는 것이 증명되었다. 그러므로 두 변 BA와 AC의 합은 두 변 BE와 DC의 합보다 더 크다. 또한 임의 삼각형에서 외각이 내부의 반대편 각보다 더 크므로, 그러므로 삼각형 CDE에서 그 외각 BDC는 각 CED보다 더 크다.

 

 

같은 이유로, 더욱이 삼각형 ABE에서 그 외각 CEB는 각 BAC보다 더 크다. 그러나 각 BDC는 각 CEB보다 더 크다는 것이 증명되었다. 그러므로 각 BDC는 각 BAC보다 더욱 크다.

 

 

그러므로 한 삼각형의 한 변의 끝점들에서부터 두 직선을 삼각형내부에서 만나게 그으면, 그렇게 만들어진 직선들의 합은 삼각형의 나머지 두 변의 합보다 작다. 그러나 그 만들어진 직선들은 그 나머지 두 변이 포함하는 각보다 더 큰 각을 포함한다.

 

 

 

 

### 덧붙이는 말 ###