유클리드 기본모음 제안 26. 두 각과 사이 직선의 길이가 같은 삼각형

제안 26. 두 삼각형의 대응하는 두 각들이 서로 같고, 같은 각 사이의 직선이 같거나 같은 각의 마주보는 직선의 길이가 같으면, 그 나머지 직선들은 서로 길이가 같고, 그 나머지 각들은 서로 크기가 같다.

 

 

주어진 두 삼각형 ABC와 DEF에서 두 각 ABC와 BCA은 두 각 DEF와 EFD 각각과 같고, 즉 각 ABC는 각  DEF와 각 BCA는 각 EFD와 같다. 그리고 그들이 또한 한 변이 다른 한 변과 같다. 처음의 것은 같은 각들을 접한다. 즉 변 BC가 변 EF와 길이가 같다.

 

그 나머지 변들이 각각의 나머지 각들과 크기가 같고, 즉 변 AB가 변 DE와 같고, 변 AC가 변 DF와 같고, 그리고 나머지 각이 나머지 각과 크기가 같고, 즉 각 BAC가 각 EDF와 크기가 같다.

 

만약 변 AB가 변 DE와 길이가 같지 않으면, 그러면 그들 중의 하나가 더 크다. 변 AB가 더 크면, 변 BG가 변 DE와 길이가 같게 만들고, 그리고 직선 GC를 연결한다.

 

직선 BG가 직선 DE와 길이가 같고, 직선 BC가 직선 EF와 길이가 같고, 두 변 GB와 BC가 두 변 DE와 EF가 각각 길이가 같고, 그리고 각 GBC가 각 DEF가 같다 그러므로 밑변 GC가 밑변 DF와 길이가 같고, 각 GBC가 각 DEF와 같고, 그리고 나머지 각들이 그 나머지 각들과 크기가 같고, 즉 같은 길이의 맞은 쪽의 각들과 크기가 같다. 그러므로 각 GCB는 각 DFE와 크기가 같다. 그러나 각 DFE는 각 ACB와 가정에 의하여 길이가 같다. 그러므로 각 BCG가 각 BCA와 길이가 같다. 작은 것이 더 큰 것과 크기가 같은데, 이것은 불가능하다.

 

그러므로 변 AB가 직선 DE와 다른 길이가 아니다. 그리고 따라서 같은 길이이다. 그러나 변 BC는 또한 변 EF와 길이가 같다. 그러므로 그 두 변 AB와 BC가 두 변 DE와 EF 각각과 크기가 같다. 그리고 각 ABC가 각 DEF와 크기가 같다. 그러므로 밑변 AC가 밑변 DF와 길이가 같다. 그리고 그 나머지 각 BAC가 그 나머지 각 EDF와 크기가 같다. 다음으로 같은 크기의 각 맞은 편의 변들이 크기가 같다고 하자. 즉 변 AB는 직선 DE와 길이가 같다. 

 

그 나머지 변들이 그 나머지 변들과 길이가 같고, 즉 변 AC가 직선 DF와, 변 BC가 직선 EF와 길이가 같고, 그리고 더욱 그 나머지 각 BAC가 그 나머지 각 EDF와 크기가 같다는 것을 또한 보이자. 변 BC가 변 EF와 길이가 다르면, 그러면 그들 중의 하나는 더욱 크다.

 

가능할 경우에, 변 BC가 더 크다고 하자. 직선 BH가 직선 EF와 길이가 같도록 만들고, 직선 AH를 연결하자. 직선 BH가 직선 EF와 길이가 같고, 직선 AB가 직선 DE와 길이가 같다면, 그 두 변 AB와 BH가 그 두 변 DE와 EF 각가과 길이가 같다. 그리고 그들이 같은 각을 포함한다. 그러므로 그 밑변 AH가 밑변 DF와 길이가 같고, 그 각 ABH가 각 DEF와 크기가 같고, 그 나머지 각들이 그 나머지 각들과 크기가 같다. 즉 같은 길이의 변들의 맞은 편의 각들과 크기가 같다. 그러므로 각 BHA는 각 EFD와 크기가 같다.

 

그러나 각 EFD가 각 BCA와 같고, 그러므로, 각 AHC에서, 그 외각 BHA는 그 내부의 반대각 BCA와 크기가 같은데, 이것은 불가능하다. 그러므로 변 BC가 직선 EF와 길이가 다르지 않다. 그러므로 그들은 서로 같다.

 

그러나 변 AB 또한 변 DE와 길이가 같고, 그러므로 두 변 AB와 BC가 두 변 DE와 EF 각각과 같고, 그리고 그들이 같은 같은 크기의 각을 포함한다. 그러므로 밑변 AC가 밑변 DF와 길이가 같고, 각 ABC가 각 DEF와 크기가 같고, 그리고 그 나머지 각 BAC가 그 나머지 각 EDF와 크기가 같다.

 

그러므로 두 삼각형이 두 각이 다른 두 각과 각각 같고, 한 변이 다른 한 변과 길이가 같고, 즉 같은 크기의 각을 접하는 한 변 또는 같은 크기의 각들 중 맞은 편의 한 각과 크기가 같으면, 그 나머지 변들이 나머지 변들과 크기가 같고 그 나머지 각들이 그 나머지 각들과 크기가 같다.

 

 

 

### 덧붙이는 말 ###