유클리드 기본모음 제안 32. 삼각형 세 내각의 합은 두 직각의 합과 같다

제안 32. 삼각형에서 한 모서리가 연장되었을 때, 그 외각은 접하지 않는 두 내각의 합과 같고, 삼각형의 내부의 세각의 합은 두 직각의 합과 같다.

 

 

주어진 삼각형 ABC에서 한 변 BC를 점 D까지 연장하자.

 

외각 ACD가 접하지 않는 두 내각 CAB와 ABC의 합과 같다는 것을 보이자. 그리고 세 내각 ABC, BCA, 그리고 CAB의 합이 두 직각의 합과 같다는 것을 보이자.

 

직선 AB에 평행하고 점 C를 지나가게 직선 CE를 그리자.

직선 AB가 직선 CE와 평행하고, 직선 AC가 그들을 지나가므로, 그러므로 그 엇각 BAC와 ACE가 서로 크기가 같다. 

 

또한, 직선 AB가 직선 CE에 평행하고, 직선 BD가 그들을 지나가므로, 그러므로 그 외각 ECD가 동위각 ABC와 크기가 같다.

 

그러나 각 ACE가 또한 각 BAC와 크기가 같은 것을 증명하였다. 그러므로 그 전체 각 ACD가 접하지 않는 두 내각 BAC와 ABC의 합과 크기가 같다.

 

각 ACB를 각각에 더하자. 그러면 그 ACD와 ACB의 합은 그 세각 ABC, BCA, 그리고 CAB의 합과 크기가 같다.

그러나 각 ACD와 ACB의 합이 두 직각의 크기와 같다. 그러므로 각 ABC, BCA, 그리고 CAB의 합이 또한 두 직각의 크기와 같다.

 

그러므로 임의의 삼각형에서 한변을 연장한다면, 그러면 그 외각은 접하지 않는 두 내각의 합과 크기가 같고, 그리고 삼각형의 세 각의 합은 두 직각의 크기와 같다.

 

 

 

 

### 덧붙이는 말 ###